Tuesday, November 10, 2015

3 CARA MEMBUKTIKAN BAHWA AKAR 2 IRASIONAL

No comments

Pertanyaan dari (email) : M syaifuddin dan Ayu Astuti
Pertanyaannya sama, yaitu :

Bukti bahwa akar 2 adalah bilangan irasional !

PEMBUKTIAN :
Disini, kita akan membuktikan ke-irasionalan akar 2 dengan 3 cara , yaitu :

CARA PERTAMA
Andaikan akar 2 adalah bilangan rasional. Berarti akar 2 dapat disajikan dalam bentuk pecahan, yaitu:
Dengan a dan b adalah bilangan bulat serta b tidak sama dengan 0. Tanpa mengurangi keumuman bukti, andaikan bahwa a dan b saling prima atau faktor persekutuan terbesarnya adalah 1. Sehingga berlaku :
Berarti "a kuadrat adalah bilangan genap, akibatnya a juga genap. Karena a genap berarti b ganjil, sebab a dan b saling prima. Berarti a dapat disajikan dalam bentuk
a = 2k
Untuk suatu k bilangan bulat. Berarti belaku
Didapatkan "b kuadrat" genap, sehingga b juga genap. Terdapat KONTRADIKSI dengan hasil b ganjil pada pernyataan sebelumnya. Berarti pengandaian akar 2 adalah bilangan rasional SALAH atau haruslah akar dua bilangan irasional.

CARA KEDUA
Pada cara yang kedua ini kita tetap menggunakan metode pembukian secara kontradiksi, namun berbeda dari cara sebelumnya, disini kita andaikan akar dua dapat dituliskan dalam bentuk desimal yang terbagi dalam dua kasus. Lebih jelasnya sebagai berikut :
KASUS 1
Andaikan dapat dinyatakan dalam bentuk desimal, misal akar 2 = 1,abc . a , b dan c adalah bilangan bulat nonnegatif dengan c tidak sama dengan 0. Kalikan kedua ruas dengan 1000 kemudian kuadratkan, proses selengkapnya sebagai berikut :
Pada ruas kiri kita dapatkan bilangan yang berakhiran angka nol, ini tidak sesuai dengan ruas kanan karena di awal kita memisalkan c tidak sama dengan nol. berarti pengandaian bahwa akar 2 dapat dinyatakan dalam bentuk desimal SALAH, akibatnya akar 2 tidak dapat dinyatakan dalam bentuk pecahan atau dengan kata lain  akar 2 adalah bilangan irasional. Pengandaian dalam bentuk desimal lain akan menghasilkan kesimpulan yang sama.

KASUS 2
Andaikan akar 2 dapat dinyatakan dalam bentuk desimal berulang, misal akar 2 = 1,abcabcabc.... a , b dan c adalah bilangan bulat nonnegatif. Proses atau langkah selanjutnya sebagai berikut
Perhatikan pada ruas kiri, jika diproses lebih lanjut maka akan menghasilkan angka satuan 2. Ini berbeda dengan kanan yang angka satuannya hanyalah angka yang dihasilkan dari kuadrat suatu bilangan, nilainya yaitu salah satu diantara 0, 1 , 4 , 5 , 6 atau 9. Berarti terjadi kontradiksi yang mengakibatkan pengandaian bahwa akar 2 dapat dinyatakan dalam bentuk desimal berulang adalah SALAH. Berarti haruslah akar 2 adalah bilangan irasional. Pengandaian dengan bentuk desimal yang lain akan menghasilkan kesimpulan yang sama.

CARA KETIGA (GEOMETRI)
Sama seperti cara pertama. Andaikan akar 2 adalah bilangan rasional. Berarti akar 2 dapat disajikan dalam bentuk pecahan, yaitu :
Dengan a dan b bilangan bulat serta b tidak sama dengan nol. Berarti didapatkan
 Dari persamaan tersebut, kita dapat menggambarkan persegi dengan luas (a x a) dan persegi yang lebih kecil yaitu b x b. Dimana luas persegi besar sama dengan 2 kali luas persegi kecil.
Lebih jelasnya, pehatikan gambar
Asumsikan “a” adalah bilangan bulat terkecil yang memenuhi persamaan
 untuk bilangan bulat “b” lainnya. Kemudian letakkan persegi biru dengan luas (b x b) diletakkan kedalam persegi putih yang luasnya (a x a) seperti pada gambar di bawah.
untuk bilangan bulat “b” lainnya. Kemudian letakkan persegi biru dengan luas (b x b) diletakkan kedalam persegi putih yang luasnya (a x a) seperti pada gambar di bawah.
Pada gambar di atas dapat dilihat dengan jelas bahwa :

1. Terdapat area persegi biru (persegi kecil) yang beririsan satu sama lain
2. Terdapat pula area persegi putih (persegi besar) yang tidak tertutupi oleh persegi biru.

Dari kedua pernyataan di atas dapat di simpulkan bahwa luas daerah irisan dua persegi biru (persegi biru gelap) akan sama dengan luas wilayah persegi putih yang tidak tertutupi oleh persegi biru. Itu karena jumlah luas kedua persegi biru sama dengan luas persegi putih. Panjang sisi persegi biru gelap dan putih kecil haruslah bilangan bulat, karena dihasilkan dengan mengoperasikan bilangan bulat. Misalkan panjang sisi persegi biru gelap dan putih kecil masing-masing adalah p dan q. Jadi diperoleh persamaan :
Pada persamaan di atas diketahui bahwa p lebih kecil dari a, ini kontradiksi dengan asumsi bahwa “a” adalah bilangan bulat terkecil. Ini berarti pengandaian awal yang menyatakan akar 2 adalah bilangan rasional TIDAK BENAR. Jadi haruslah akar 2 irrasional.

JIKA INGIN DOWNLOAD "3 CARA MEMBUKTIKAN BAHWA AKAR 2 IRASIONAL" KLIK LINK DIBAWAH INI :

Tuesday, June 23, 2015

Rumus Mencari Luas diantara Segitiga dan Lingkaran Luar / Dalam

No comments
Pertanyaan dari ( Email ) : maghfirotun nisak

kak,gimana cara menentukan salah satu unsur pd grs singgung lingk bila yang lain diketahui ?
dan gimana mncr luas daerah diantara segitiga dan lingk luar/dalam ?
terima kasih jawabannya

Jawaban :
Disini saya akan menjawab pertanyaan yang ke-2 yaitu mencari cara luas daerah di antara segitiga dan lingkaran luar/dalam.

1. Luas daerah diantara segitiga dan lingkaran luar ( L )

2. Luas daerah diantara segitiga dan lingkaran dalam ( L )








Bagi yang ingin mendownload "Rumus Mencari Luas diantara Segitga dan Lingkaran Luar / Dalam" dalam PDF, silahkan klik link di bawah.

Monday, June 15, 2015

PEMBUKTIAN THEOREMA DE MOIVRE’S

3 comments

Bukti :

Akan dibuktikan dengan induksi matematika :

Untuk n = 0, kita dapatkan :


Untuk n = 1, kita dapatkan :


andaikan bahwa untuk n = k benar, yaitu :


Akan dibuktikan bahwa untuk n = k +1 juga benar


Dari identitas trigonometri diketahui :


Sin (x + y) = sin x cos y + cos x sin y dan cos (x + y) = cos x cos y – sin x sin y

Berarti persamaan di atas menjadi :

Jika ingin mendownload "PEMBUKTIAN THEOREMA DE MOIVRE’S" dalam pdf, silahkan klik link di bawah :

Tuesday, June 02, 2015

Mencari Nilai Turunan Fungsi Secara Online di Rifandy23 Blog

No comments


Assalamu 'Alaikum,,
  Untuk mendapatkan nilai turunan fungsi secara online, maka ikuti langkah-langkah berikut :
1. tentukan nilai turunan keberapa yang mau kamu cari
    contoh : 1st untuk turunan pertama, 2nd untuk turunan ke-2 dan seterusnya
2. masukkan fungsi yang ingin kamu cari turunannya di kotak yang disediakan
3. klik submit
4. Jawaban segera ditampilkan

semoga bermanfaat,,
Wassalam,,

Mencari Solusi Persamaan Secara Online di Rifandy23 Blog

No comments


Assalamu 'Alaikum,,
   saat mencari solusi persamaan linear dan persamaan kuadrat maupun lainnya terkadang kita ragu dengan jawaban yang kita dapatkan. oleh karena itu, sekarang Rifandy23 Blog memberikan cara untuk mengetahui solusi persamaan tersebut secara online. Hanya dengan memasukkan persamaan kedalam kotak yang disediakan maka jawaban akan langsung ditempilkan lengkap dengan grafik dari persamaan tersebut. lebih lengkapnya, cara untuk mengetahui solusi persamaan tersebut sebagai berikut :
1. masukkan persamaan ke dalam kotak yang disediakan di atas
contoh persamaannya adalah 2x+5=0 (linear) atau x*x+2x+2=0 (kuadrat)

2. klik submit
3. jawaban akan segera di tampilkan

semoga bermanfaat,,
Wassalam,,

Monday, June 01, 2015

Geometri Euklides

No comments

Pertanyaan dari (Facebook) : Haryati _____

Assalamualaikum
Bgaimana cr na mmbuktikan 2 ttik mmbentuk 1 garis?

Jawaban :

Walaikumsalam,,
     Sebelum menjawab pertanyaan di atas, saya terlebih dahulu akan menjelaskan sedikit tentang Geometri Euklides. Geometri euklides adalah sebuah geometri klasik yang diperkenalkan oleh matematikawan yunani kuno yaitu Euklides sekitar tahun 300 SM. Geometri euklides terkenal dengan 5 postulatnya yang berbunyi :
  1. Setiap 2 titik dapat digabungkan oleh 1 garis lurus
  2. Setiap garis lurus dapat diperpanjang sampai tak terhingga panjangnya dengan garis lurus
  3. Diberikandiberikan setiap segmen garis lurus, sebuah lingkaran dapat digambar memiliki segmen ini sebagai jari-jari dan 1 titik ujung sebagai pusat
  4. Semua sudut siku sama antara satu dengan yang lain
  5. Jika sebuah garis lurus memotong sepasang garis lurus lain, maka jumlah dua sudut dalam pada satu sisi kurang dari dua kali sudut siku (180 derajat). Pasangan garis itu akan bertemu satu sama lain jika jika diperpanjang lagi.
     Dari ke 5 postulat pada penjelasan di atas, pada postulat nomor 1 mengatakan bahwa “Setiap 2 titik dapat digabungkan oleh 1 garis lurus”. Mungkin sudah kita ketahui sebelumnya bahwa postulat tidak perlu dibuktikan. Sebagaimana defenisi postulat yang terdapat pada Kamus Besar Bahasa Indonesia yang menyatakan bahwa postulat adalah asumsi yang menjadi pangkal dalil yang dianggap benar tanpa perlu membuktikannya. Sebagaimana asumsi lainnya, maka postulat bisa benar bisa juga salah. Namun, postulat merupakan pernyataan yang bisa dianggap benar tanpa harus di uji ataupun dibuktikan , kecuali ada yang dapat membuktikannya bahwa postulat tersebut salah. Oleh karena itu, karena pernyataan “Setiap 2 titik dapat digabungkan oleh 1 garis lurus” adalah sebuah postulat yang memang dapat diterima oleh akal fikiran, maka selama tidak ada yang membantahnya dan tidak ada yang bisa membuktikan bahwa pernyataan itu salah, maka pernyataan tersebut benar tanpa harus dibuktikan.

Semoga menjawab pertanyaan saudari dan semoga bermanfaat,,, 

Wassalam,,

Saturday, May 30, 2015

Sejarah Perkembangan LPMP Sulbar

No comments

    
( sumber gambar : lpmpsulbar.com )

Assalamu Alaikum,,

   Beberapa waktu yang lalu, tepatnya dimulai pada tanggal 17 Februari 2015 saya dan 2 orang teman lainnya mengikuti PKL (Praktek Kerja Lapang) yang merupakan mata kuliah wajib untuk Mahasiswa semester 7 di Kampus kami. Pada kegiatan tersebut kami berkesempatan untuk PKL di Lembaga Penjaminan Mutu Pendidikan Provinsi Sulawesi Barat (LPMP Sulbar). Selama dua bulan lamanya atau hingga tanggal 17 April 2015 kami bertiga melakukan pekerjaan yang biasanya dilakukan oleh para staf fungsional LPMP Sulbar guna menambah pengalaman maupun pengetahuan tentang dunia kerja yang mungkin tidak akan kami dapatkan di bangku kuliah.
   Pada artikel kali ini, saya akan berbagi tentang sejarah perkembangan LPMP Sulbar yang juga merupakan kutipan dari laporan praktek kerja lapang kami sebagai tugas pada saat PKL berakhir. Kepada keluarga besar LPMP Sulbar, kami memohon maaf sebesar-besarnya apabila terdapat kekeliruan pada penulisan “sejarah perkembangan LPMP Sulbar” ini, baik berupa nama, tanggal penting ataupun hal lainnya. Berikut adalah sejarah perkembangan LPMP Sulbar :

   Berawal dari pemekaran daerah otonomi di wilayah Provinsi Sulawesi Selatan yang menjadikan terbentuknya provinsi Sulawesi Barat berdasarkan UU No. 26 Tahun 2004, tanggal 5 Oktober2004 dengan Ibu kota Mamuju, dengan luas wilayah ± 16,796.19 km², terdiri dari 5 kabupaten (Mamuju, Majene, Polewali Mandar, Mamasa, dan Mamuju Utara). Seiring dengan hal tersebut berkembang pula pemikiran bahwa pemekaran wilayah ini memerlukan perlunya ada Lembaga Penjaminan Mutu Pendidikan (LPMP) di Sulawesi Barat yang diharapkan mampu menjembatani upaya pemerintah pusat dalam melakukan akselerasi dibidang pendidikan di wilayah Provinsi Sulawesi Barat.
    Upaya pemerintah bersama dengan Dirjen PMPTK, Depdiknas ditahun 2005 menghasilkan kesepakatan untuk membangun LPMP di SulBar yang berlokasi di Majene (±147 km dari kota Mamuju). Lokasi LPMP ini di bangun diatas lahan seluas 3.5 ha yang merupakan hibah dari pemerintah kabupaten Majene, kemudian ditahun 2006 gedung fisik dibangun secara bertahap sampai tahun 2009 yang terdiri dari gedung perkantoran, serbaguna, wisma/asrama, ruang kelas, ruang laboratorium, perpustakaan, ruang makan dan dapur, serta rumah dinas.
   Keberadaan gedung LPMP Sulbar tidak serta merta dapat dioperasionalkan untuk melaksanakan tugas-tugas penjaminan mutu, hal ini akibat dari keluarnya Peraturan Menteri Negara PAN No. PER/18/M.Pan/11/2008 tentang organisasi unit pelaksana teknis kementerian dan LPNK khususnya pasal 4 ayat 2 yang menyatakan bahwa pada dasarnya pembentukan unit pelaksana teknis tidak serta merta mengikuti wilayah administrasi pemerintah daerah baik yang telah ada maupun hasil pemekaran.
   Kondisi ini tidak menyurutkan keinginan keras pemerintah wilayah dalam hal pengembangan dan pemberdayaan potensi aset pendidikan sehingga dengan berbagai upaya dilakukan termasuk diantaranya dengan mengundang Bapak Wakil Presiden Republik Indonesia (Boediono) pada tahun 2011 untuk berkunjung ke LPMP SulBar, yang kemudian menghasilkan rekomendasi yang mendesak pihak-pihak terkait untuk segera menerbitkan satuan kerja LPMP Sulbar secara resmi.
    Pada tahun 2012 keluarlah Peraturan Menteri Pendidikan dan Kebudayaan Republik Indonesia Nomor 37 Tahun 2012 tentang Organisasi dan Tata Kerja Lembaga Penjaminan Mutu Pendidikan yang memuat tentang keberadaan satker Lembaga Penjaminan Mutu Pendidikan Sulawesi Barat.
    Personil Struktural LPMP Sulbar pada awalnya direkrut dari LPMP SulSel (4 Orang) dan staf awal LPMP Sulbar direkrut dari hasil mutasi staf dari :
1. P4TK Teknologi Bandung (1 orang);
2. LPMP Maluku utara (2 orang);
3. LPMP Papua (2 Orang);
4. Dinas pendidikan kabupaten Majene (8 Orang);
5. Dinas pendidikan kabupaten Mamuju (3 orang);
6. Dinas pendidikan kabupaten Polewali Mandar (2 Orang);
7. Dinas pendidikan kabupaten Mamuju Utara (2 orang).


     Inilah sedikit mengenai sejarah perkembangan LPMP Sulbar, sekali lagi kami (Muh. Rifandi, Mardawati Sam dan Novianti) memohon maaf apabila terdapat penulisan yang salah pada sejarah diatas. Terima kasih kepada seluruh Keluarga Besar Lembaga Penjaminan Mutu Pendidikan Provinsi Sulawesi Barat atas bimbingannya selama dua bulan atas ilmu yang diberikan.

Wassalamu Alaikum,,

Wednesday, May 27, 2015

KUMPULAN FAKTA MATEMATIKA (BAG. 1)

No comments
http://2.bp.blogspot.com/-JvRue_ATPbI/VQ_ARY2fnXI/AAAAAAAABVs/ZpY7B4VoRcE/s1600/971695_221661241367301_379163750_n.png 
Assalamu alaikum,,
setelah beberapa bulan saya tidak aktif didunia maya (khususnya diblog ini) dan belum sempat mem-posting artikel di blog ini dikarenakan kesibukan lainnya didunia nyata , saya akan kembali memberi info mengenai matematika. pada kesempatan ini saya akan membagikan beberapa fakta tentang matematika yang mungkin belum banyak orang yang tahu. Apa-apa saja fakta tentang matematika yang saya maksud ? silahkan simak beberapa fakta berikut :
- dalam bahasa inggris, huruf "A" hanya muncul satu kali pada nama lambang bilangan antara 0 - 1000, yaitu 1000 (One ThousAnd)

- selain lingkaran , segitiga reuleaux juga memiliki lebar yang konstan                                                        http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d2/ReuleauxTriangle.svg/200px-ReuleauxTriangle.svg.png 

- Barisan Fibonacci adalah barisan dimana setiap sukunya merupakan hasil jumlah dua suku sebelumnya, contoh, 1 1 2 3 5 8 13 . . .

- Bilangan Polindrom adalah bilangan yang dibaca sama baik dari depan maupun dari belakang,  contoh: 11,  242, 1045401 dan lainnya

- pi (3,14159. . . ) adalah bilangan yang tidak dapat di tulis sebagai pecahan

- sisi berlawanan pada dadu selalu menghasilkan jumlah 7

- hanya 1 dan 2 yang mempunyai faktor sesuai dengan nilai mereka

- sampai saat ini, bilangan prima terbesar yang ditemukan memiliki 17.425.170 digit 

- angka nol tidak memiliki bilangan romawi tersendiri

- tanda "=" (sama dengan) dituliskan pertama kali oleh Welsh Robert Recorde

- 18 adalah satu-satunya bilangan yang nilainya adalah dua kali jumlah digit-digitnya

- kebanyakan jam yang menggunakan angka romawi menggunakan IIII sebagai angka empat menggantikan IV 

 Mungkin itu saja pada kesempatan kali ini, Insya ALLAH pada artikel-artikel berikutnya akan saya berikan fakta lebih banyak lagi,,
semoga bermanfaat,,
 Wassalam ,,

Saturday, March 28, 2015

Pembuktian hukum absorbsi himpunan

2 comments
Pertanyaan dari (email) : Naulina Sari (nurisna**@gmail.com)

Pak,bias kah membuktikan jika AU(A n B)

Jawaban :

Entries RSS Comments RSS

Sample Text

Pages


Copyright © Rifandy Blog
Powered by Blogger
Distributed By Free Blogger Templates | Design by N.Design Studio
Blogger Theme by Lasantha - PremiumBloggerTemplates.com
Kirimkan kritik , saran dan pertanyaan teman-teman tentang matematika di email : m.rifandy23@gmail.com, semoga partisipasi teman-teman membuat blog ini semakin baik kedepannya, aamiin